【Édition du People's Education Press】Mathématiques du collège, 2e année du secondaire, Semestre 2 : Le secret de la superposition de bandes : Découvrir les parallélogrammes

Imaginez les rayons parallèles de la physique traversant des trous dans une plaque de papier pour laisser une tache lumineuse sur la table, ou coupez simplement deux bandes semi-transparentes dont les bords sont parallèles, puis empilez-les aléatoirement. Quelle que soit l'orientation que vous donnez à ces deux bandes, la zone sombre commune sous la lumière formera toujours une figure géométrique parfaite —un parallélogramme.

L'essence et la décomposition des parallélogrammes

En géométrie, « parallèle » signifie un ordre qui ne se croise jamais. Lorsque nous combinons deux paires de segments parallèles, nous définissons ce polygone fascinant :Un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles est appelé un parallélogramme(noté $\square ABCD$).

Pour percer le secret du parallélogramme, les mathématiciens ont adopté une stratégie ingénieuse d'effet de réduction dimensionnelle :« tracer une diagonale »Une seule diagonale divise instantanément le quadrilatère inconnu en deux triangles que nous connaissons déjà !

Étape 1 : Introduire la diagonale pour créer un pont

Comme indiqué à la figure 18.1-3, reliez la diagonale $AC$ dans $\square ABCD$.

Utilisez la « magie des angles alternes-internes » des droites parallèles :
$\because AD \parallel BC$ et $AB \parallel CD$
$\therefore \angle 1 = \angle 2$, et $\angle 3 = \angle 4$.

Étape 2 : La victoire des triangles congrus

À ce stade, $AC$ est lecôté commun.

Selon le théorème « angle-côté-angle (ASA) », $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$.
Dès qu'ils sont congrus, tous les éléments correspondants sont égaux :
$\therefore AD=CB$, $AB=CD$, et $\angle B=\angle D$.

Distance et hauteur : La complicité éternelle des droites parallèles

Pourquoi, quelle que soit l'inclinaison du parallélogramme, la hauteur relative à la même base reste toujours identique ? Cela introduit un autre concept fondamental :la distance entre deux droites parallèlesLa distance entre deux droites parallèles est la longueur du segment perpendiculaire tracé depuis n'importe quel point d'une droite jusqu'à l'autre droite. Comme les deux rails d'un chemin de fer, la longueur des traverses entre eux reste toujours identique.

🎯 Règles fondamentales et théorèmes de reconnaissance

Dès que vous maîtrisez la technique de décomposition en triangles congrus, vous pouvez aisément déduire toutes les propriétés et théorèmes de reconnaissance !

Théorème des propriétés :Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux ; les angles opposés sont égaux ; les diagonales se coupent en leur milieu.
Théorème de reconnaissance (raisonnement inverse) :Un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont égaux est un parallélogramme ; un quadrilatère dont les deux paires d'angles opposés sont égaux est un parallélogramme ; un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme ; un quadrilatère dont un couple de côtés opposés est à la fois parallèle et égal est un parallélogramme.

QUESTION 1

Dans le parallélogramme $\square ABCD$, on connaît les deux côtés adjacents $AB=5$ et $BC=3$. Calculez le périmètre de ce parallélogramme.

QUESTION 2

Dans le parallélogramme $\square ABCD$, on connaît l'angle intérieur $\angle A=38^{\circ}$. Quelles sont les mesures des angles $\angle B$ et $\angle C$ ?

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

$\angle B=38^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=142^{\circ}$, $\angle C=142^{\circ}$

$\angle B=52^{\circ}$, $\angle C=38^{\circ}$

QUESTION 3

Xiao Ming marche 80 m vers l'est, puis parcourt 60 m dans une autre direction, puis encore 100 m dans une troisième direction, revenant exactement à son point de départ. Après avoir marché 80 m vers l'est, dans quelle direction a-t-il marché la deuxième fois ?

Au sud ou au nord

Au nord-est ou au sud-est

À l'est ou à l'ouest

Au nord-ouest ou au sud-ouest

QUESTION 4

Pour garantir que les deux rails droits d'un chemin de fer soient absolument parallèles, les ouvriers doivent simplement s'assurer que toutes les traverses parallèles placées entre les rails ont la même longueur. Quel principe géométrique est impliqué ici ?

Les segments parallèles situés entre deux droites parallèles sont égaux, et la distance entre deux droites parallèles est constante partout.

Les angles correspondants de triangles congrus sont égaux

Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme

La médiane d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale à la moitié de sa longueur

QUESTION 5

Comme indiqué à la figure, $\square OABC$ est dans un repère orthonormé, avec les sommets $O, A, C$ aux coordonnées $(0,0), (a,0), (b,c)$. En utilisant les propriétés du parallélogramme, quelle est la coordonnée du sommet $B$ ?

$(a+b, c)$

$(a, c)$

$(b-a, c)$

$(a+c, b)$

Exercice pratique : Approfondir les parallélogrammes

Utiliser les triangles congrus et les théorèmes de reconnaissance pour résoudre des problèmes complexes

[Exploration pratique] Coupez deux bandes dont les côtés opposés sont parallèles, empilez-les aléatoirement, la zone commune forme un quadrilatère $ABCD$. En faisant pivoter l'une des bandes, quelle est la relation entre les longueurs des segments $AD$ et $BC$ ? Pourquoi ?

Solution détaillée :
Relation :Les segments $AD = BC$.
Raison :Lorsque deux bandes sont superposées en croix, comme leurs côtés opposés sont parallèles, le quadrilatère $ABCD$ formé par la zone commune possède nécessairement $AB \parallel CD$ et $AD \parallel BC$. Selon la définition « un quadrilatère dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme », le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. Ensuite, selon le théorème des propriétés « les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux », on obtient $AD = BC$. Quelle que soit l'orientation, ce théorème reste toujours valable.

[Périmètre et diagonales] Dans $\square ABCD$, les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent au point $O$. On connaît $BC=10$, $AC=8$, $BD=14$.
(1) Quel est le périmètre de $\triangle AOD$ ?
(2) Lequel a un périmètre plus long entre $\triangle ABC$ et $\triangle DBC$ ? De combien ?

Solution détaillée :
(1) Calcul du périmètre de $\triangle AOD$ :
D'après les propriétés du parallélogramme « les diagonales se coupent en leur milieu » et « les côtés opposés sont égaux », on sait que :
$AO = \frac{1}{2}AC = 4$,
$DO = \frac{1}{2}BD = 7$,
$AD = BC = 10$.
Ainsi, le périmètre de $\triangle AOD$ = $AD + AO + DO = 10 + 4 + 7 = 21$.

(2) Comparaison des périmètres de $\triangle ABC$ et $\triangle DBC$ :
Le périmètre de $\triangle ABC$ = $AB + BC + AC = AB + 10 + 8 = AB + 18$.
Le périmètre de $\triangle DBC$ = $CD + BC + BD$. Puisque $CD = AB$, le périmètre = $AB + 10 + 14 = AB + 24$.
En comparant, on voit que le périmètre de $\triangle DBC$ est plus long que celui de $\triangle ABC$, et la différence est de $24 - 18 = 6$.

[Défi de démonstration] Comme indiqué à la figure, les diagonales $AC, BD$ du parallélogramme $\square ABCD$ se coupent au point $O$, et la droite $EF$ passe par le point $O$ et coupe respectivement $AB$ et $CD$ aux points $E$ et $F$. Démontrer que $OE=OF$.

Processus de démonstration :
Dans $\square ABCD$, les côtés opposés $AB \parallel CD$, et les diagonales se coupent en leur milieu, donc $OA = OC$.
$\because AB \parallel CD$
$\therefore \angle OAE = \angle OCF$ (si deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux).
在 $\triangle AOE$ 和 $\triangle COF$ 中：
$\begin{cases} \angle OAE = \angle OCF \\ OA = OC \\ \angle AOE = \angle COF \text{ (angles opposés par le sommet)} \end{cases}$
$\therefore \triangle AOE \cong \triangle COF$ (théorème ASA).
$\therefore OE = OF$ (les côtés correspondants de triangles congrus sont égaux). Démonstration terminée.
*洞察：这个结论说明，过平行四边形中心的任意直线，不仅平分平行四边形的面积，其被对边截得的线段也被中心平分。

[Interconnexion de plusieurs figures] Comme indiqué à la figure, deux quadrilatères $ABCD$ et $CDEF$ sont reliés ensemble. On sait que $AB=DC=EF$, $AD=BC$, $DE=CF$. Quels segments sont parallèles dans cette figure ?

Solution détaillée :
Il y a trois paires de segments parallèles dans la figure :$AB \parallel DC \parallel EF$,$AD \parallel BC$et $DE \parallel CF$.
Processus de raisonnement :
1. 在四边形 $ABCD$ 中，因为 $AB=DC$ 且 $AD=BC$。根据判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。由此得到 $AB \parallel DC$ 和 $AD \parallel BC$。
2. 同理，在四边形 $CDEF$ 中，因为 $DC=EF$（由 $AB=DC=EF$ 得出）且 $DE=CF$。四边形 $CDEF$ 也是平行四边形。由此得到 $DC \parallel EF$ 和 $DE \parallel CF$。
3. Enfin, comme $AB \parallel DC$ et $DC \parallel EF$, selon la propriété de transitivité des droites parallèles, on a nécessairement $AB \parallel EF$. Ainsi, les trois segments $AB$, $DC$ et $EF$ sont mutuellement parallèles.

[Fusion algèbre et géométrie] Si le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme, on connaît un côté $AB=6$, et la longueur de $AB$ est exactement $\frac{3}{16}$ du périmètre de $\square ABCD$. Quelle est la longueur du côté adjacent $BC$ ?

Solution détaillée :
1. Tout d'abord, calculez le périmètre total à partir du rapport de longueur de $AB$. Périmètre $L = 6 \div \frac{3}{16} = 6 \times \frac{16}{3} = 32$.
2. Selon la propriété des parallélogrammes selon laquelle les côtés opposés sont égaux, le périmètre $= 2 \times (AB + BC)$.
3. Remplacez les valeurs connues dans l'équation : $32 = 2 \times (6 + BC)$.
4. Résolvez : $6 + BC = 16$, donc $BC = 10$.

[Analyse des concepts] Un quadrilatère satisfaisant les conditions suivantes est-il un carré ?
(Connaissances supplémentaires : Si c'est un triangle rectangle, les trois côtés satisfont $a^2=c^2-b^2$. Comment un quadrilatère évolue-t-il davantage ?)
Si les longueurs des trois côtés d'un triangle $a, b, c$ satisfont $a^2 = c^2 - b^2$, ce triangle est-il un triangle rectangle ? Pourquoi ?

Solution détaillée :
Oui, c'est un triangle rectangle !
En effectuant un simple transfert algébrique de l'équation $a^2 = c^2 - b^2$, on obtient :$a^2 + b^2 = c^2$.
Selonle théorème réciproque de Pythagore, si les longueurs des trois côtés d'un triangle satisfont que la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du troisième côté, alors ce triangle est nécessairement un triangle rectangle (et $c$ est l'hypoténuse).
*Réflexion approfondie :Si un parallélogramme est divisé par ses diagonales en deux triangles rectangles (c'est-à-dire que les angles internes du parallélogramme sont de $90^{\circ}$), il devient un rectangle ; si en outre les deux côtés adjacents sont égaux, il devient finalement un carré. Les concepts fondamentaux de l'angle droit et de la parallèle constituent la base pour explorer tous les quadrilatères particuliers !